قانون مساحة وحجم الأسطوانة

قانون مساحة وحجم الأسطوانة لطالما كان مهماً في حياتنا العملية والعلمية، فنحن نواجه الأشكال الهندسية في أيامنا الاعتيادية سواء كانت بسيطة أو معقدة أو الأكثر تعقيداً كمساحات الأراضي أو زجاجات المياه وحتى المباني والأبراج، ودراسة هذه الأشكال والمجسمات لا يهم فقط الطلاب وعلماء الرياضيات فكل ما نتعلمه هو مرتبط بما حولنا، وفي هذا المقال اليوم عبر موقع المرجع سنتكلم عن قانون مساحة وحجم الاسطوانة وطريقة حسابها ومحيطها وكل ما يخصها وما يهم قرائنا الأعزاء معرفته عن هذا الموضوع.

قانون المساحة

يعرف قانون المساحة البسيط كما تعرفنا عليه في الصفوف الدراسية على أنه المساحلة الكلية لأي شكل ثنائي الأبعاد التي يشغلها أي كائن أو شكل، وبصيغة أخرى يمكن القول أن مساحة الأجسام من حولنا هي المقدار الذي يشغله الجسم المستوي مثل قطعة من الأرض والتي تقدر بالمتر المربع،

والتي يتم حسابها عن طريق ضرب الأبعاد للشكل الهندسي الذي أمامنا ببعضها وكمثال فإن مساحة المستطيل ناتج ضرب الطول بالعرض والذي سيعطينا إجمالي عدد المربعات التي تكون منها المستطيل، فإذا كان طوله 5 أمتار وعرضه 3 أمتار فسيكون الناتج: 5×3=15، وبالتالي سيكون هذا الناتج هو عدد المربعات الصغيرة التي كونت المساحة الكبيرة والتي تشكل كل واحدة منها متر مربع واحد فقط.[1]

شاهد أيضاً: كيفية حساب الميراث بالرياضيات

قانون الحجم 

الحجم يمثل لنا الصورة ثلاثية الأبعاد التي تخص كل كائن أو جسم من حولنا ويشمل حيزاً من الفراغ فهو يشر إلى إجمالي الكمية للفضاء المحيط بالسطح المغلق وكمثال زجاجة الماء تعتبر حجم ثلاثي الأبعاد أو خزانات المياه وغيرها من الأشياء التي نجدها حولنا، ووحدة القياس المستخدمة في الحجم هي المتر المكعب على عكس المساحة العي تؤخذ بالمتر المربع، وبصيغة أبسط يمكن القول أن الحجم يحدد لنا السعة الإجمالية التي يملكها الجسم المادي الذي أماكنا وما يحتويه ليملأ الفراغ، مثلا تمتلك كرة القدم أو السلة كمية معينة من الهواء وهذه الكمية يحددها الحجم، فحجم خزان المياه المستطيل هو كمية المياه الموجودة في داخله والتي تحتسب بالمتر المكعب، فمثلما تعبر صيغة المتر المربع في مساحة المستطيل العادي عن عدد المربعات المكونة له كما ذكرنا في المثال السابق، فإن حجم المنشور المستطيل المتمثل بالخزان تحتسب بعدد المربعات المكعبة المكونة له ليكون حجمه هو نتيجة حساب كل أطرافه المتمثلة بطوله وعرضه وارتفاعه.[1]

قانون مساحة وحجم الأسطوانة

تعرف الأسطوانة علمياً على أنها دائرتان متوازيتان من ذات الحجم ويتموضعان في أعلى وأسفل الجسم الدائري واللذان يسميان قواعد الأسطوانة، أما جسم الأسطوانة فهو الارتفاع الذي يصل بين القاعدتين في الأعلى والأسفل فالارتفاع والقاعدتين هما قسميها، وبشكل عام فنحن نشاهد هذه الشكل الهندسي في حياتنا اليومية فمن منا لن يرى أسطوانة الغاز في المنازل أو الخزانات ذات الشكل الدائري على أسطح الأبنية وهذا يعتبر مثال حي وواقعي لهذه الأجسام، وفي سياق دراستنا قانون مساحة وحجم الأسطوانة سنستخدم هذين العنصرين الذي ذكرناهما وهما الارتفاع المتمثل بالجسم والقاعدتين في الأسفل والأعلى لنحصل على المساحة والحجم الكلي.[2]

مساحة الأسطوانة الجانبية والكلية

كما ذكرنا أن الجسم الأسطوانة الخارجي يتكون من مساحتين هما القاعدتين والجسم المنحى المرتفع بينهما، ولكن بالداية يجب أن نتعرف إلى بعض المصطلحات الحسابية وهي نصف الدائرة ويرمز له ب r، والارتفاع ويرمز له ب h، وπ والذي يستخدم في حساب مساحة ومحيط الدوائر ويساوي 3.14 أو 22/7، ووفقاً للقوانين الرياضية ستكون العملية الحسابية كالتالي:[3]

• المساحة الجانبية للقاعدة: والتي تتضمن حساب قاعدتي الأسطوانة وفق المعادلة التالية: 2πr 2 والتي تعني 2×3.14×نصف القطر×نصف القطر
• المساحة الجانبية للجسم: وهي حساب الجسم المنحني الواصل بين القاعدتين وفق المعادلة التالية: 2πrh والتي تعني 2×3.14×الارتفاع×نصف القطر
• المساحة الكلية: وهي الحصيلة النهائية من الجمع بين المساحة الجانبية للقاعدة والمساحة الجانبية للجسم وفق المعادلة التالية: 2πr 2 + 2πrh والتي تعني 2 × 3.14 × نصف القطر × نصف القطر + 2 × 3.14 × نصف القطر × الارتفاع

ما هو قانون حجم الأسطوانة

حجم الأسطوانة هو مصطلح يعبر عن الكمية التي يستحوذ عليها الجسم من الفراغ، وبصيغة أخرى يمكن القول أن حجم الأسطوانة هو كمية الفراغ الموجود داخل المساحة الجانبية والكلية لها، فمثلا إذا أخذنا علبة المياه الغازية الأسطوانية فسنجد المادة الموجودة بداخلها تعبر عن حجمها وكذلك الأمر لخزانات المياه وغيرها، ويتم حسابه عن طريق ضرب مساحة القاعدتين السفلى والعليا بالارتفاع، وبما أن مساحة القاعدتين تساوي 2πr 2 فهذا يعني أن الحجم يساوي 2πr 2h والتي تعني 2×3.14×نصف القطر×نصف القطر× الارتفاع، وفي حالات أخرى قد يختلف هذا القانون نوعاً ما من حيث نوع الجسم الأسطواني وهيكله والتي سنتعرف عليها فيما بعد.[3]

أنواع الاسطوانة

في علم الهندسة غالباً ما يوجد حجم معين لكل أسطوانة ومساحة محددة، ولكن ليس كل المساحات والأحجام تحسب بنفس الطريقة، فبالرغم من الأسطوانة هي عبارة عن شكل ثلاثي الأبعاد محدد بقاعدتين متطابقتين متوازيتين إلا أنها تمتلك أحيانا أنواعاً أخرى تختلف طريقة حسابها، وفيما يلي نقدم لكم أنواع مختلفة من الأسطوانات وهي التالي:[4]

• الأسطوانة الدائرية اليمنى: وهي الأسطوانة التي تكون عادة قواعدها على شكل دوائر وكل قطعة مستقيمة تشكل جزءًا من السطح الجانبي المنحني متعامدة مع القواعد.
• الأسطوانة المائلة: وهي عبارة عن أسطوانة تميل جوانبها فوق القاعدة الأساسية بزاوية لا تعادل الزاوية القائمة.
• الأسطوانة الإهليلجية: وهي الأسطوانة التي تكون قواعدها عادة بيضاوية.
• الأسطوانة المجوفة: وهي الأسطوانة المفرغة والتي تمتلك قاعدتين فارغتين وشكلها مثل الأنبوب.

شاهد أيضاً: الغاز رياضيات للاذكياء مع الحل 2021 – لن يقوم بحلها إلا أذكى الأذكياء

مثال على المساحة الجانبية والكلية للأسطوانة 

بعد أن تعرفنا على الصيغ الرياضية لحساب مساحة الأسطوانة الجانبية والكلية سنطرح المثال التالي لفهم هذه الصيغة بشكل جيد، فإذا كان لدينا أسطوانة يبلغ نصف قطرها 5 سم وارتفاعها 10 سم ونحن نعلم أن صيغتها هي 2πr 2 فستكون مساحة القاعدة على الشكل التالي:[5]

• 2×3.14×5×5=157

أما المساحة الجانبية التي صيغتها 2πrh فستكون:

• 2×3.14×5×10=314

وبالتالي ستكون المساحة الكلية للأسطوانة هي مساحة القاعدة + المساحة الجانبية  وفق التالي: 

• 2×3.14×5×5 + 2×3.14×5×10= 157+314 = 471

مثال على حساب حجم الأسطوانة

حجم الأسطوانة يتمثل في حساب مساحة القاعدة 2πr 2 مضروباً بالارتفاع h لتكون المعادلة 2πr2 h فإذا كان لدينا شكل أسطواني يبلغ ارتفاعه 7 سم ونصف قطره 5 سم فسيكون الحل كالآتي:[5]

• 2×3.14×5×5×7 = 1570

وبهذا القدر نصل إلى نهاية مقالنا الذي كان بعنوان قانون مساحة وحجم الأسطوانة والذي عرفنا فيه مفهوم المساحة والحجم بشكل عام وتعرفنا فيه على المساحة الجانبية والكلية للاسطوانة وحجمها وأنواعها وذكر الأمثلة البسيطة عنها وتوسعنا بما فيه الكفاية لإغناء فكر قرائنا الكرام.