ما هي الأعداد الصحيحة

ما هي الأعداد الصحيحة في الرياضيات وما هي مجموعتها وخصائصها والعمليات الحسابية التي تقام عليها؟ من الأمور المهمة التي يحتاجها الطالب ليس فقط في الرياضيات بل في المعادلات الفيزيائية والكيميائية والعلمية، حتى في معظم مجالات الحياة وجوانبها نحتاج إليها، فكما عودكم موقع المرجع سيجيب عن كافة استفساراتكم فيما يخص هذا الموضوع والمواضيع الأخرى التي تثير اهتمامكم.

ما هي الأعداد الصحيحة

الأعداد الصحيحة هي أصغر مجموعة من الأعداد الطبيعية، وهي الأعداد التي لا تأتي على شكل جزء عشري أو كسري، تحتوي الأعداد الصحيحة ضمن مجموعتها على الأرقام السالبة والموجبة، بما في ذلك الصفر، في نظرية الأعداد الجبرية يتم أحيانًا تصنيف الأعداد الصحيحة كأعداد صحيحة منطقية لتمييزها عن الأعداد الصحيحة الجبرية الأكثر عمومية، في الواقع  الأعداد الصحيحة (المنطقية) هي أعداد صحيحة جبرية هي أيضًا أعداد منطقية، أمثلة على الأعداد الصحيحة هي: -5 و 0 و 1 و 5 و 8 و 97 و 3043.[1]

شاهد أيضاً: يمكن كتابة العدد ٦٢٥ بالصيغ الأسية التالية

مجموعة الأعداد الصحيحة

تتضمن مجموعة الأعداد الصحيحة التي يتم تمثيلها بالرمز Z ما يلي:[1]

• الأعداد الصحيحة الموجبة: العدد الصحيح موجب إذا كان أكبر من الصفر، مثال: 1 ، 2 ، 3 وغيرها.
• الأعداد الصحيحة السالبة: تكون الأعداد الصحيحة سالبة إذا كانت أقل من الصفر، مثال: -1 ، -2 ، -3 وغيرها.
• عدد صحيح حيادي: الصفر ليس عددًا صحيحًا سالبًا أو موجبًا، إنه عدد صحيح حيادي.
  مثال: Z = {… -7، -6، -5، -4، -3، -2، -1، 0، 1، 2، 3، …} وغيرها من أعداد موجبة وسالبة وغيرها كلها أعداد صحيحة.

خصائص الأعداد الصحيحة

هناك خمسة خصائص رئيسية للأعداد الصحيحة، إليك شرح مفصل لكل خاصية على حدة:[2]

خاصية الإغلاق

• تنص خاصية الإغلاق تحت الجمع والطرح على أن مجموع أو فرق أي عددين صحيحين سيكون دائمًا عددًا صحيحًا، أي إذا كان x و y أي عددين صحيحين، فإن x + y و x – y سيكونان أيضًا عددًا صحيحًا، مثال 1: 3 – 4 = 3 + (−4) = −1، (–5) + 8 = 3 النتائج هي أعداد صحيحة.
• تنص خاصية الإغلاق تحت الضرب على أن حاصل ضرب أي عددين صحيحين سيكون عددًا صحيحًا، أي إذا كان x و y أي عددين صحيحين، فإن xy سيكون أيضًا عددًا صحيحًا، مثال 2: 6 × 9 = 54 ؛ (–5) × (3) = 15 وهي أعداد صحيحة.
• لا تتبع قسمة الأعداد الصحيحة خاصية الإغلاق، أي أن حاصل قسمة أي عددين صحيحين x و y قد يكون أو لا يكون عددًا صحيحًا، مثال 3: (−3) ÷ (−6) = ½ ليس عددًا صحيحًا.

خاصية التبادل

• تنص الخاصية التبادلية للجمع والضرب على أن ترتيب الحدود لا يهم، وستكون النتيجة هي نفسها، سواء كانت إضافة أو مضاعفة فإن تبادل المصطلحات لن يغير المجموع أو المنتج، لنفترض أن x و y هما أي عددان صحيحان، إذن: ⇒ س + ص = ص + س، ⇒ س × ص = ص × س، مثال 4: 4 + (−6) = −2 = (−6) + 4، 10 × (−3) = 30 = (3) × 10.
• لكن الطرح (x – y ≠ y – x) والقسمة (x ÷ y ≠ y ÷ x) ليسا تبادليين للأعداد الصحيحة والأعداد الصحيحة، مثال 5: 4 – (6) = 10 ؛ (−6) – 4 = 10 ⇒ 4 – (−6) ≠ (6) – 4، مثال: 10 ÷ 2 = 5 ؛ 2 ÷ 10 = ⅕ ⇒ 10 ÷ 2 2 10

خاصية الأقواس

• تنص الخاصية الترابطية للجمع والضرب على أن طريقة تجميع الأعداد غير مهمة وستكون النتيجة نفسها، يمكن للمرء تجميع الأرقام بأي شكل من الأشكال ولكن الإجابة ستبقى كما هي، يمكن عمل الأقواس بغض النظر عن ترتيب المصطلحات، لنفترض أن x و y و z هي أي ثلاثة أعداد صحيحة ⇒ س + (ص + ع) = (س + ص) + ض ⇒ س × (ص × ع) = (س × ص) × ع، مثال 6: 1 + (2 + (-3)) = 0 = (1 + 2) + (−3)؛ 1 × (2 × (−3)) = 6 = (1 × 2) × (−3).
• إن طرح الأعداد الصحيحة ليس ترابطيًا في الطبيعة ، أي x – (y – z) ≠ (x – y) – z، مثال 7: 1 – (2 – (−3)) = −4 ؛ (1-2) – (−3) = 2، 1 – (2 – (−3)) ≠ (1-2) – (−3)

خاصية التوزيع

التوزيع يفسر القدرة توزيع العمليات على عملية حسابية أخرى داخل شريحة، يمكن أن تكون إما خاصية توزيعية للضرب على خاصية الجمع أو خاصية التوزيع للضرب على الطرح، هنا ، تُجمع الأعداد الصحيحة أو تُطرح أولاً ثم تُضرب أو تُضرب أولاً مع كل رقم داخل القوس ثم تُضاف أو تُطرح. يمكن تمثيل ذلك لأي أعداد صحيحة x و y و z على النحو التالي:

• ⇒ س × (ص + ع) = س × ص + س × ع
• ⇒ س × (ص – ض) = س × ص – س × ع

مثال 8: −5 (2 + 1) = 15 = (−5 × 2) + (−5 × 1)

خاصية الهوية

• تنص خاصية الهوية المضافة على أنه عند إضافة أي عدد صحيح إلى الصفر، فإنه سيعطي نفس الرقم، يسمى الصفر الهوية المضافة لأي عدد صحيح س ،س + 0 = س = 0 + س
• تقول خاصية الهوية المضاعفة للأعداد الصحيحة أنه عندما يتم ضرب رقم في 1، فإنه سيعطي العدد الصحيح نفسه على أنه حاصل الضرب، لذلك 1 يسمى الهوية المضاعفة لرقم، لأي عدد صحيح س، س × 1 = س = 1 × س
• إذا تم ضرب أي عدد صحيح في 0 ، فسيكون الناتج صفرًا: س × 0 = 0 = 0 × س
• إذا تم ضرب أي عدد صحيح في -1، فسيكون حاصل الضرب عكس الرقم: س × (−1) = −x = (−1) × س.

شاهد أيضاً: ما هو الرقم الذي يمكن وضعه في الفراغ لتصبح الجمله صحيحه

العمليات على الأعداد الصحيحة

ترتبط العمليات الحسابية الأساسية الأربعة في الأعداد الصحيحة وهذه العمليات هي:[3]

جمع الأعداد الصحيحة

يتم وضع الرقم صفر في وسط خط الأعداد، فعندما نمتد إلى يمين الصفر لدينا أرقام موجبة والأرقام السالبة تمتد إلى يسار الصفر، عند جمع أعداد صحيحة موجبة وأعداد صحيحة سالبة، سنتخيل أننا نتحرك على طول خط الأعداد، جمع وطرح الأعداد الصحيحة على خط الأعداد ، وجمع وطرح الأعداد الصحيحة على خط الأعداد، إليك قوانين جمع الأعداد الصحيحة:

• عند جمع عددين متماثلين بالإشارة نضع الإشارة ثم نجمع: على سبيل المثال: إذا افترضنا أنه طُلب منا جمع الرقمين 4 و 3، فسنبدأ بالانتقال إلى الرقم 4 الموجود على خط الأعداد نقل أربع وحدات بالضبط إلى يمين الصفر، ثم علينا تحريك ثلاث وحدات إلى اليمين، نظرًا لأننا وضعنا سبع وحدات على يمين الصفر، نقول إن مجموع 3 و 4 يساوي 7، (+3) + (+4)= +4، أو (-3) – (-4)= (-7).

• عند جمع عددين مختلفين بالإشارة نضع إشارة الأكبر عندما نطرح: ) إذا افترضنا أنه طُلب منا جمع العددين 8 و -2، فسنبدأ بتحريك ثماني وحدات إلى يمين الصفر ثم نحرك وحدتين إلى اليسار من هناك لأننا نعلم أن الأرقام السالبة تجعلنا ننتقل إلى الجانب الأيسر من خط الأعداد، بما أن آخر موضع لدينا هو ست وحدات على يمين الصفر، فيمكننا القول إن مجموع 8 و -2 يساوي 6، (-2) + (+8)= +6، (+2) – (-8)= -6.

طرح الأعداد الصحيحة

يتم تحويل مسائل الطرح إلى مسائل جمع، يتم اتباع خطوتين رئيسيتين عندما تطرح عددين:

• تقوم بتغيير علامة الطرح في السؤال المحدد إلى علامة جمع: (+4) – (+3)= (+4) + (-3).
• تقوم بعكس إشارة الرقم الذي يلي مباشرة علامة الجمع الموضوعة حديثًا: (+4) – (+3)= (+4) + (-3).

 وفقًا للخطوات هذه يتعين علينا تغيير علامة الطرح إلى علامة الجمع في أي سؤال، علينا أن نأخذ عكس 3 وهو -3 لذلك أصبحت المشكلة الآن: 

• (+4) + (-3) الآن باستخدام قواعد الجمع فإن الإجابة التي نحصل عليها تساوي +1.
• =(+4) – (+3)
• =(+4) + (-3)
• =+1

 فيما يلي بعض الأمثلة الأخرى لفهم أفضل:

•  مثال 1) -2 – 7 = -2 + (-7) = -9
•  مثال 2) 6 – (-2) = 6 + 2 = 8
•  مثال 3) -7 – (-2) = -7 + 2 = -5

ضرب الأعداد الصحيحة 

القاعدة الأولى التي عليك معرفتها عند ضرب عددين صحيحين نجري عملية الضرب دون وصغ إشارة، ثم سيتشكل لديك قاعدتين بعد ضرب الرقمين:

• تكون إشارة الناتج موجبة إذا كان الرقمين متماثلين بالإشارة: (+4) × (+3)= +12، (-4) × (-3)= +12.
• تكون إشارة الناتج سالبة إذا كان الرقمين متماثلين بالإشارة: (-4) × (+3)= -12، (+4) × (-3)= -12.

قسمة الأعداد الصحيحة 

القاعدة الأولى التي عليك معرفتها عند قسمة عددين صحيحين نجري عملية القسمة دون وصغ إشارة، ثم سيتشكل لديك قاعدتين بعد قسمة الرقمين:

• تكون إشارة الناتج موجبة إذا كان الرقمين متماثلين بالإشارة: (+12) ÷ (+3)= +4، (-12) ÷ (-3)= +4.
• تكون إشارة الناتج سالبة إذا كان الرقمين متماثلين بالإشارة: (-12) ÷ (+3)= -4، (+12) ÷ (-3)= -4.

بهذا القدر من المعلومات وصلنا إلى نهاية هذا المقال الذي كان بعنوان ما هي الأعداد الصحيحة والذي أوردنا من خلاله معلومات عن مجموعات الأعداد الصحيحة وخصائصها الخمس، وفي نهاية المقال أوردنا لكم العمليات على الأعداد الصحيحة مع الأمثلة لنغني فكر قرائنا الأعزاء.