المرجع الموثوق للقارئ العربي

كيفية حساب المتوسط الحسابي

كتابة : اسماعيل منصور

كيفية حساب المتوسط الحسابي ففي الرياضيات هناك عدة أنواع من القيم التمثيلية التي يستخدمها العلماء الرياضيين في معالجة البيانات، فمثلاً إذا أردنا معرفة الطقس في منطقة ما سنجد سجلات من درجات الحرارة لأيام كثيرة وبيانات درجة مختلفة قد تكون سابقة أو حالية أو ربما تكون توقعات مستقبلية وهذا سيعطي أرقام كثيرة، ولذلك قام العلماء الرياضيين باستخدام مصطلحات مثل المتوسط الحسابي لمعالجة هذه الأرقام الكثيرة لوصف القيمة التمثيلية لأي شي مثل الطقس ولفترة معينة، وفي مقالنا اليوم عبر موقع المرجع والذي سوف نتعرف من خلاله أكثر على مفهوم المتوسط الحسابي وسلبياته وإيجابياته وكيفية حسابه وحساب المتوسط الحسابي للجداول التكرارية وذكر كل ما يخص هذا الموضوع.

ما هو المتوسط الحسابي

يعرف المتوسط ​​الحسابي في علم الإحصاء على أنه نسبة مجموع كل للقيم إلى العدد الإجمالي للقيم، ومع ذلك يمكن استخدام المتوسط ​​الحسابي في مجالات مختلفة في الحياة غير الإحصاء فيمكن استخدام المتوسط الحسابي في البورصة وسوق الأسهم كما يتم تطبيقه بشكل متكرر في مجال التمويل وما إلى ذلك، وبالرغم من وجود عدة أنواع من الوسائل ذات طرق حسابية مختلفة إلا أن المتوسط ​​الحسابي هو أبسط الأنواع وأكثرها استخدامًا.[1]

شاهد أيضًا: المتوسط الحسابي للبيانات ١ ، ٢ ، ١ ،٤ ، ٢ هو

كيفية حساب المتوسط الحسابي

في علم الإحصاء يتم حساب المتوسط الحسابي بطريقتين يتم تحديدهما من البيانات في حال كانت بيانات مجمعة في جداول وتسمى الجداول التكرارية أو بيانات منفصلة وهي الأكثر شيوعاً  وسهولة وتسمى المتوسط الحسابي للبيانات المنفصلة أو مجموعة الأعداد، وفيما يلي سوف نتعرف على قوانين حساب كل منها.[1]

كيفية حساب المتوسط الحسابي لمجموعة الأعداد

وهي أبسط أنواع الحساب المتوسطي في علم الإحصاء والأكثر استخداماً وذلك لسهولتها وارتباطها بغالبية العمليات الحسابية الاعتيادية التي نقوم بها، وتتكون عادة من عدد من الأرقام ولكل رقم منها قيمة خاصة به ويتم حسابها بجمع مجموع القيم الموجودة وتقسيمها على عدد القيم، فإذا كان لدينا مجموعة من الأرقام مثل 20+24+30+32+34 فنقوم بجمع القيم لهذه الأرقام وهو 140 ثم نقوم بقسمتها على عدد الأرقام وهو 5 والناتج 140÷5= 28 وهذا هو المتوسط الحسابي لمجموعة الأعداد.

كيفية حساب المتوسط الحسابي للجداول التكرارية

وهي مجموعة من البيانات المجمعة في جداول وتتضمن عنصرين وهما القيمة وعدد التكرار، ويتطلب حساب المتوسط الحسابي للجداول التكرارية استخدام عدة عمليات حسابية في عدة مراحل وهي:

  • نقوم بتحديد نقطة الوسط أو المنتصف لكل قيمة بتجميع القيمة الأعلى والأدنى لكل قيمة وتقسيمها على 2 ونرمز لها ب s.
  • نضرب قيمة نقطة المنتصف لكل فئة التي حصلنا عليها وهي s بعدد التكرار لكل فئة ونرمز له ب r فتكون العملية (s.r).
  • نجمع القيم الناتجة من ضرب منتصف كل فئة بتكرارها.
  • نجمع قيم التكرار الكلية التي في الجدول ونرمز لها ب f.
  • نقسم مجموع نواتج ضرب نقطة المنتصف بعدد التكرار لكل الفئات على قيم التكرار الكلية f ويكون هذا هو المتوسط الحسابي ورمزه m.
  • وبالتالي يكون قانون المتوسط الحسابي للجداول التكرارية هو: مجموع نواتج ضرب نقطة المنتصف بعدد التكرار لكل الفئات /قيم التكرار الكلية

مسائل على كيفية حساب المتوسط الحسابي 

يعد حساب المتوسط الحسابي للبيانات والمتوسط الحسابي للجداول التكرارية من أكثر العمليات الحسابية استخداماً في كافة المجالات، وتعد الأمثلة عليها كثيرة أيضاً وفيما يلي نستعرض بعض الأمثلة التوضيحية عليها.[1]

المسألة الأولى

أرادت سارة أن تعرف أعمار الأطفال في الحافلة المدرسية فأجرت استبيانًا وكانت نتائجه مرفقة في الجدول التالي، فما هو متوسط أعمار الأطفال:

التكرار الأعمار
6 11
7 12
9 13
8 14
5 15
10 16
  • مركز الفئة s هنا هو أعمار الطلاب ولسنا بحاجة لحسابه فهو محدد مسبقاً.
  • نقوم بضرب العمر بمرات التكرار لك طالب r.
  • نجمع نواتج ضرب الأعمار بمرات التكرار لكل الفئات.
  • نجمع قيم التكرار لكل طالب لنحصل على القيمة الكلية للتكرار f.
التكرار  الأعمار التكرار × الأعمار
6 10 6×10=60
7 12 7×12=84
9 13 9×13=117
8 14 8×14=112
5 15 5×15=75
10 16 10×16=160
45 608

للحصول على المتوسط الحسابي لأعمار الطلاب نقوم بقسمة مجموع حاصل ضرب الأعمار بتكرارها على مجموع التكرارات:

  • m=608÷45=13.51

المسألة الثانية

كان أحمد يلعب التنس سجل الأشواط التالية في آخر 10 جولات له خلال الموسم الماضي وهي: 45، 65، 7، 10، 43، 35، 25، 17، 78، 91، فما هو المتوسط الحسابي للأشواط التي سجلها في آخر 10 جولات له:

يتم حل هذه المسألة بتطبيق قانون حساب المتوسط الحسابي لمجموعة الأعداد وبالتالي نقوم بجمع جميع الأشواط التي سجلها ونقسمها على عدد الأشواط وبالتالي يكون الحل:

  • 45+65+7+10+43+35+25+17+78+91=416
  • 416÷10=41.6 وهذا هو المتوسط الحسابي للأشواط التي سجلها أحمد.

 الفرق بين المتوسط والوسيط

عادة ما يخلط الناس بين المتوسط الحسابي والوسيط مع أنهما مختلفان تماماً في الأداء الوظيفي بالرغم من أنهما اشتركا في خاصية وصف الوسط، ومع ذلك يوجد بينهما فرق جوهري وهو:[2]

  • المتوسط ​​الحسابي: عادة ما يستخدم لتحديد نقطة المركز لتوزيع مجموعة من البيانات وهذا ليس مؤشرًا مثاليًا طول الوقت، وذلك بسبب القيم المتطرفة التي يمكن أن تحرفه سلباً أو إيجاباً وهذا يؤثر بشكل كبير على المتوسط ​​الحسابي فهي إما أن تدفعه للأعلى أو للأسفل وهذا يخلق مشكلة في تمثيل البيانات.
  • الوسيط: يعمل على حل المشكلة في تمثيل البيانات التي تحدث بسبب القيم المتطرفة، فبالنسبة لمجموعات البيانات التي تحتوي على الكثير من القيم المنخفضة أو القيم العالية فغالبًا ما يكون الوسيط طريقة أفضل لوصف الوسط، حيث أن الوسيط يشير بشكل أفضل إلى الاتجاه المركزي لمجموعة من البيانات أكثر من المتوسط الحسابي.

إيجابيات المتوسط ​​الحسابي

يمتلك المتوسط الحسابي المثير من المزايا تجعله مستخدماً بشكل كبير أكثر من غيره ومنها:[2]

  • المتوسط ​​الحسابي سهل الفهم والحساب.
  • يتأثر بقيمة كل عنصر في السلسلة أو مجموعة البيانات.
  •  يتم تعريف المتوسط الحسابي بشكل صارم.
  • لدى المتوسط الحسابي القدرة على العمل بشكل واسع مع البيانات الجبرية.
  • إنها قيمة مُقاسة ولا تستند إلى الموضع في السلسلة.

شاهد أيضًا: المتوسط الحسابي للبيانات الممثلة في الشكل التالي يساوي

سلبيات المتوسط ​​الحسابي

بالرغم من ايحابياته إلى أن المتوسط الحسابي يمتلك بعض السلبيات لا تجعله ملائماً لكل العمليات الحسابية ومنها:[2]

  • يتم تغييره من خلال العناصر المتطرفة مثل العناصر الصغيرة والكبيرة جدًا.
  • نادرا ما يمكن تحديده عن طريق الفحص وهذا يجعله يفتقر للدقة.
  • في بعض الحالات لا يمثل المتوسط الحسابي العنصر الأصلي فمثلاً نقول إنه يبلغ متوسط ​​عدد المرضى الذين يدخلون المستشفى 10.7 يوميًا.
  • المتوسط ​​الحسابي غير مناسب في التوزيعات غير المتكافئة للغاية وخاصة في النسب.

وبهذا القدر نصل إلى نهاية هذا المقال الذي كان بعنوان كيفية حساب المتوسط الحسابي والذي تعرفنا من خلاله على مفهوم المتوسط الحسابي وسلبياته وإيجابياته وكيفية حسابه وحساب المتوسط الحسابي للجداول التكرارية والفرق بين المتوسط الحسابي والوسيط.

المراجع

  1. byjus.com , Arithmetic Mean And Range , 25/10/2021
  2. corporatefinanceinstitute.com , Arithmetic Mean , 25/10/2021

التعليقات

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *