ما هي الأعداد النسبية في الرياضيات

ما هي الأعداد النسبية في الرياضيات، يحتوي علمَ الريّاضيات على مجموعات مُختلّفة من الأعداد تبدأُ بمجموعةِ الأعدادِ الطبيعيّة والتي تشملُ الصفر والأعداد المُوجبّة، ومجموعة الأعداد الصحيحة التي تشملُ الصفر والأعداد المُوجبّة والسالبّة، والأعداد النسبيّة التي تشملُ الكسور، والأعداد غيرُ النسبيّة، ومن خلالِ موقع المرجع سنتعرفُ على ما هي الأعداد النسبية في الرياضيات.

ما هي الأعداد النسبية في الرياضيات

تُعرّفُ الأعداد النسبية في الرياضيات بأنّها الأعداد التي يمكنُ كتابتّها على صورةً كسريّة أ/ب بحيثُ أنّ البسطَ والمقامُ هُما عددان صحيحان، والمقامُ لا يُساويْ الصفر، أيْ أنّ أ ، ب ينتميانِ إلى مجموعة الأعداد الصحيحة، و ب لا تساوي صفرًا،  فإنْ ساوت صفرًا فإنّ المُقام يصبحَ غيّرُ مُعرّف، ويطلقُ على العدد النسبيّ عددٌ نسبي مُوجب إنْ كانت إشارة البسط والمقام مُتشابّهة، فيما يطلقُ عليّه عدد نسبيْ سالب إنْ كانت إشارة البسط والمقام مُختلفة، وفي الحديثِ عنْ الأعداد غيرُ النسبيّة فإنّها الأعداد التي لا تحتوي على أعداد صحيحة في البسط أو المقام، مثل الأرقام التي تحتوي على جذور تربيعية لمربع غير كامل، والكسور العشريّة غيرُ المُنتهيّة.[1]

أمثلة على الأعداد النسبية

بعد التعرف على ما هي الأعداد النسبية في الرياضيات يوجدُّ عدّة أمثلة توضيحيّة على صورةِ الأعداد النسبيّة، ومنْ هذه الأمثّلة:

الأعداد الصحيحة

الأعدادُ الصحيحة هِي الأعدادُ التي تضمُّ الأعداد المُوجبّة، والأعداد السالبّة، والصفر، وتعتبرُ جميعَ الأعداد الصحيحة أعدادًا نسبيّة، حيثُ أنّ البسط هوَ العددُ الصحيح، والمقامُ يُساوي واحدْ صحيح، ومن الأمثلة الموضحّة لذلك:

• الرقم 10 هو عددُ نسبيْ: حيثُ يمكنُ كتابتّهُ على صورة كسر 10/1، والمقامُ يُساوي واحد صحيح
• الرقم -4 هو عددُ نسبيْ: حيثُ يمكنُ كتابتّهُ على صورة كسر -4/1، والمقامُ يُساوي واحد صحيح
• الرقم 0 هو عددُ نسبي: حيثُ يمكنُ كتابتهُ على صورة 0/1، والمقامُ يساوي واحد صحيح

الكسور والأعداد الكسرية

الكسر هو الذي يمكنُ كتابتّه على صورة بسط ومقام، بحيثُ ينتمي كُلاً من البسطِ والمقام إلى مجموعةِ الأعدادِ الصحيحةَ، وقيمة المقام لا تُساوي صفرًا هِي أعدادٌ نسبيّة، ويمكنُ ترجمتَها بالرموزِ الكسر هو الذي يمكنُ كتابتهُ على صورةِ أ/ب، بحيثُ ينتمي كُلاً من أ، ب إلى مجموعة الأعداد الصحيحة، وب لا تُساوي صفرًا، وتتبعُ الأعداد الكسريّة لذات تعريفِ الكسور، وهِي أعدادًا نسبيّة أيضًا، ومن الأمثلةِ المُوضحّة لذلك:

• الكسّر 2/4 يُعتبرُ عددًا نسبيًا، حيثُ أنّ البسط والمقام ينتميانِ إلى مجموعةِ الأعداد الصحيحة، والمقام لا يُساوي صفرًا.
• العدد الكسرّي 5 و3/2 يُعتبرُ عددًا نسبيًا، وذلكَ لأنّه يمكنُ تحويله إلى كسّر على صورةِ أ/ب، ومَقامّه لا يُساوي صفرًا.

مُلاحظّة: بعضُ الكسور لا تُعتبرُ نسبيّة، وذلكَ كما هوَ موضحٌ في الأمثلة:

• يعتبرُ الكسر 20/0 عددًا غيُر نسبي، فبالرغمِ من أنّ العددين 20،0 ينتميانِ إلى مجموعة الأعداد الصحيحّة، لكنّ المقام يُساوي صفر، وهذا سيؤدّي إلى قيّمة غيرُ معرّفة.
• يعتبرُ الكسر π/9 عددًا غيرُ نسبيّ، على الرغم من أنّ المقام عدد صحيح ولا يُساوي صفرًا، إلّا أنّ π لا تُعتبر عددًا نسبيًا.

الكسور العشرية

تكونُ الكسور العشريّة كسورًا نسبيّة يمكنُ كتابتّها على صورة كسريّة مكونة من بسط ومقام إن كانت كسورًا مُنتهيّة أو دوريّة، ومن الأمثلة المُوضحّة لذلك:

• يعتبرُ الكسر العشري 1.2 عددًا نسبيًا، وذلك لأنّه يُمكن التعبير عنه على صورة 1.2/1، وعند ضرب كلاً منْ البسط والمقام بالرقم 10/10 ينتج الرقم 12/10 وهو عدد نسبي، حيث إنّ الرقمين 12 و10 عددان صحيحان، والرقم 10 لا يُساوي صفرًا.
• يُعتبر الكسر العشري الدوري… 5.555 عددًا نسبيًا، وذلك لأنّه يُمكن كتابته على صورة العدد الكسري 5 و1/5، ويُمكن تحويل هذا العدد الكسري إلى 10/5 والذي يُعتبر عددًا نسبيًا.

شاهد أيضًا: يسمى عدد غير نسبي العدد

أشهرُ الأمثلة على الأعداد غير النسبية

الأعدادُ غيرَ النسبيّة تكونُ كسورًا غير منتهيّة، أو كسر مقامّه صفر، ومن أشهرِ الأمثلة على الأعداد غيرُ النسبيّة ما يأتي:[2]

• الرقم π: يعتبرُ عددًا غيرُ نسبيّ، حيثُ أنّه قيمتّه تُساوي 3.1415926535897932384626433832795، وهوَ كسرٌ عشري غيرُ منته.
• العدد النيبيري هـ: يعتبرُ عددًا غيرُ نسبيّ، حيثُ أنّ قيمتهُ تُساوي 2.7182818284590452353602874713527، وهوَ كسر عشري غير منته.
• بعضُ الجذور التربيعيّة والتكعيبيّة: حيثُ أنّ قيمتها تُساوي كسورًا عشريّة غيرُ منتهيّة، مثلَ الجذر التربيعي للعدد 3.

شاهد أيضًا: حل كتاب الرياضيات ثاني متوسط ف1 الفصل الاول 1443

خصائص الأعداد النسبية

فيما يأتي مجموعةً منْ الخصائص العامّة للأعدادِ النسبيّة، ومنّها:

• عندَ ضرب عددينْ نسبيينْ فإنّ الناتجَ يكونَ حاصل ضرب بسطَ كُلاً من العددين، وحاصل ضرب مقام كلاً من العددين.
• عندَ جمع عددين نسبيينْ لهما نفس المقام، فإنّ الناتج يكونُ حاصل جمع البسطين في العددين، ويبقى المقامُ كما هوَ.
• عندَ طرح عددين نسبيينْ لهما نفس المقام، فإنّ الناتج يكونُ حاصل طرح البسطين في العددين، ويبقى المقامُ كما هوَ.
• عندَ ضرب أو جمع أو طرح عددين نسبيين لهما نفس المقام فإنّ الناتجَ عددًا نسبي، ولا يمكنُ أنْ يكون غيرُ ذلك.
• عندَ قسّمة البسط والمقام لعدد نسبي على أيْ عدد صحيح قيمتّه لا تُساوي صفرًا، فإنّ الناتج عدد نسبي أيضًا.
• عند ضرب البسط والمقام للعدد النسبي بأيّ عدد صحيح قيمتّه لا تُساوي صفرًا، فإنّ الناتج عدد نسبي أيضًا.
• مُربع الجذر التربيعي يساوي دائمًا عددًا نسبيًا، وقيمتّهُ هو العددُ الموجود بداخلِ الجذر.
• حاصل ضرب الجذور الغير نسبيّة قد يؤدي إلى الحصول على عددِ غير نسبيّ في بعض الأحيّان.
• إذا كان العامل المشترك بين البسط والمقام في العدد النسبي هو الرقم 1 فقط، فإنّه يُطلق عليه الصورة القياسية للعدد النسبي.
• إنّ عملية جمع أو طرح الأعداد غير النسبية لا يُمكن أن تؤدّي إلى الحصول على أعداد نسبية، إلّا إذا كان الرقمان متعاكسين في الإشارة ويلغيان بعضهم.

أسئلة متنوعة حول الأعداد النسبية

تُساعد الأسئلة المتنوعة في الفهمِ الصحيح لتعريفِ الأعداد النسبيّة، ومنّها ما يأتي:

• السؤال الأول: هل الكُسور الآتيّة تمثلُ أعدادًا نسبيّة؟
  • الكُسر 8/5: يعتبرُ عددًا نسبيًا، حيثُ أن كلاً من البسط والمقام ينتمي إلى مجموعةِ الأعداد الصحيحة، والمقامُ لا يُساوي صفرًا.
  • الكسر 4/0: لا يعتبرُ عددًا نسبيًا، وذلكَ لأنّ المقام يُساوي صفر، بالتالي فإنّه عدد غيرُ مُعرّف.
  • -8: يعتبرُ عددًا نسبيًا، حيثُ يمكنُ كتابتّه على صورة 8/1-
  • 0: يعتبرُ عددًا نسبيًا، حيثُ يمكنُ كتابته على صورة 0/1
• السؤال الثاني: هل الكسور العشريّة الآتيّة تمثلُ أعدادًا نسبيّة ؟
  • 2.585858585858: عدد نسبّي، وذلكَ لأنّه كسرٌ دوري يتكررُ فيهِ الرقمان 5،8 بنفس التكرار.
  • 1.4789: عدد نسبي، وذلك لأنّه كسر عشري مُنتهي.
• السؤال الثالث: هل القيّم الآتيّة تعتبرُ كسورًا نسبيّة أم أنّها غيرُ ذلك؟
  • 2/4: عدد نسبي، حيثُ أن كلاً من البسط والمقام ينتمي إلى مجموعةِ الأعداد الصحيحة، والمقامُ لا يُساوي صفرًا.
  • 1 و 3/4: عدد نسبيّ، وذلك لأنّه يُساوي الكسر 7/4 الذي يُعتبر عددًا نسبيًا، حيث إنّ البسط والمقام يُمثّلان عددين صحيحين، والمقام لا يُساوي صفرًا.
  • 200/7895: عدد نسبي، حيثُ أن كلاً من البسط والمقام ينتمي إلى مجموعةِ الأعداد الصحيحة، والمقامُ لا يُساوي صفرًا.

مقارنة الأعداد النسبية

مقارنةُ الأعداد النسبيّة هِي عمليّة توضحُ علاقة الأرقام ببعضها عن طريقِ إشارات المُقارنة من إشارة المُساواة، وإشارةُ الأكبر منْ، وإشارة الأصغرْ منْ، بحيثُ تحددُ إذا كانت قيمة ما تساوي أو أكبر منْ أو أصغر من القيمةِ الأُخرى، ويستخدمُ لمقارنة الأعداد النسبيّة إشاراتٍ ورموز، وهِي كالآتي:[3]

• إشارة التساوي (=): وتستخدمُ للدلالة على أنّ قيمتين مُتساويتين، مثلاً 3/4 = 3/4
• إشارة أصغر منْ (<): وتستخدمُ للدلالة على أنّ القيمة الأولى أصغرُ من القيمة الثانيّة، مثلاً 1/4 <1/2
• إشارة أكبر من (>): وتستخدم للدلالة على أنّ القيمة الأولى أكبرُ من القيمة الثانيّة، مثلاً 1/5> 1/7

مقارنة الأعداد النسبية الموجبة

العددُ النسبيّ الموجب هوَ العددُ الذي تكونُ فيّه إشارة البسّط والمقام مُوجبّة، وتتمُّ عمليّة مقارنة الأعداد النسبيّة عن طريق الخطوات الآتّية:

• على سبيلِ المثال: قارنْ بين العدد 6/3 والعدد 4/5:
• توحيد مقامات الأعداد النسبيّة، وذلكَ عن طريق تحديد المُضاعف المشترك الأصغر
• المُضاعف المُشترك الأصغر للعددين 6/3 و 4/5 هوَ العددُ 15
• نضرب البسط والمقام للعدد 6/3 في العدد 5 ليُصبح 30/15
• نضرب البسط والمقام للعدد 4/5 في العدد 3 ليُصبح 12/15
• نجّد أنّ 30/15 = (5×3) / (5×6) = 6/3
• نجد أنّ 12/15 = (3×5) / (3×4) = 4/5
• تُصبح المقارنة بين العددان 30/15 والعدد 12/15.
• نُقارن بين البسط لكل عدد بعد توحيد المقامات والعدد ذو البسط الأكبر هو العدد الأكبر، وبما أنّ البسط عدد صحيح يُقارَن بنفس طريقة المقارنة بين الأعداد الصحيحة.
• نجد أنّ العدد 30 أكبر من العدد 12
• إذًا العدد 30/15 أكبرُ من 12/15، ليصبحَ 6/3> 4/5

مقارنة الأعداد النسبية السالبة

العددُ النسبيْ السالب هوَ العددُ الذي تكونُ فيّه إشارة البسط والمقام سالبّة، وتتمُّ عملية مقارنة الأعداد النسبية السالبة عن طريقِ الآتّي:

• توحيد مقامات الأعداد النسبية، وذلك عن طريقِ تحديد المُضاعف المُشترك الأصغر.
• نقارن بين بسطي كُلاً من العددين النسبيين بذات طريقة المُقارنة بينَ الأعداد السالبّة.
• العدد السالب الأكبر هوَ العددُ الأصغر.
• وعند المُقارنة بين الأعداد السالبّة والأعداد الموجبّة فإنّ العدد السالب يكونُ دومًا أصغر من العدد المُوجب مهما كانت قيمتّه.

أمثلة على مقارنة الأعداد النسبية

تُساعد الأمثلة التوضيحيّة في عمليّة الفهم الصحيح لكيفية المقارنة بين الأعداد النسبيّة الموجبّة والسالبّة، ومنْ الأمثلّة ما يأتي:

• المثالُ الأول: قارن بين العددينْ 4/8، 7/8؟
  • العدد 7/8> 4/8، حيثُ أن المقامات مُوحدّة، والعددُ 7 أكبرُ من العدد 4.
• المثالُ الثاني: قارن بين العددين 2/3، 4/9؟
  • نجد أنّ المقامات غيرُ مُتساويّة، لذا نُوحدُ المقامات عن طريقِ إيجاد المُضاعف المشترك الأصغر =9
  • نضرب بسط ومقام الكسر 2/3 بالعدد 3 ليصبحَ 6/9
  • نُقارن بين العددين 6/9، 4/9
  • العدد 4/9 <6/9، حيثُ أنّ المقامات مُوحدة، والعدد 4 أصغر من العدد 6.
  • العدد 4/9 <2/3
• المثالُ الثالث: قارن بين العددين 2/4، 1/2؟
  • نجد أنّ المقامات غيرُ مُتساويّة، لذا نُوحدُ المقامات عن طريقِ إيجاد المُضاعف المشترك الأصغر =4
  • نضرب بسط ومقام الكسر 1/2 بالعدد 2 ليصبح 2/4
  • نقارن بين العددين 2/4، 2/4
  • العدد 2/4 = 1/2، وذلك بعدَ توحيد المقامات.

ترتيب الأعداد النسبية

ترتيب الأعداد ترتيبًا تنازليًا يعني وضع الأعداد حسبْ قيمّها وتسلسلّها من الأكبر إلى الأصغر، وترتيب الأعداد ترتيبًا تصاعديًا يُعني وضع الأعداد حسبْ قيمّها وتسلسلها من الأصغرِ إلى الأكبر، وتكونُ عملية ترتيب الأعداد النسبيّة تفصيلاً على النحوِ الآتّي:

ترتيب الأعداد النسبية تنازليًا

يتمُّ ترتيب الأعداد النسبية تنازليًا من الأكبرِ إلى الأصغر عن طريقِ اتباع الخطواتِ الآتيّة:

• توحيد المقامات بين جميع الأعداد النسبية، وذلكَ عن طريقِ إيجاد المُضاعف المُشترك الأصغر.
• المُقارنة بين جميع الأعداد في البسط بنفسِ آليّة مُقارنة الأعداد الصحيحة.
• الأعداد الموجبة دومًا ما تكونُ أكبر من الأعداد السالبّة مهما كانت قيمتّها.

ترتيب الأعداد النسبية تصاعديًا

يتمُّ ترتيب الأعداد النسبية تصاعديًا من الأصغر إلى الأكبر عن طريق اتباع الخطوات الآتيّة:

• توحيد المقامات بين جميع الأعداد النسبية، وذلكَ عن طريقِ إيجاد المُضاعف المُشترك الأصغر.
• المُقارنة بين جميع الأعداد في البسط بنفسِ آليّة مُقارنة الأعداد الصحيحة.
• الأعداد السالبة دومًا ما تكونُ أصغر من الأعداد المُوجبّة مهما كانت قيمتّها.

أمثلة على ترتيب الأعداد النسبية

تُساعد الأمثلة التوضيحية على فهمِ آليّة ترتيب الأعداد النسبيّة ترتيبًا تصاعديًا أو تنازليًا على النحوِ الآتي:

• المثالُ الأول: رتب الأعداد النسبية الآتية ترتيبًا تنازليًا 1/3، 4/9، 5/3؟
  • نُوحد مقامات الكسور بإيجاد المضاعف المشترك الأصغر = 9
  • 3/9 ، 4/9 ، 15/9
  • 15/9 > 4/9 > 3/9
  • ليصبحَ 5/3> 4/9> 1/3
• المثالُ الثاني: رتب الأعداد النسبية الآتية ترتيبًا تصاعديًا 8/9-، 4/9، 1/9؟
  • المقامات مُوحدة، إذن يتمُ المقارنة بين بسط كل من المقامات؟
  • العدد السالب دومًا يكون أصغر من العدد الموجب.
  • 8/9- < 1/9 < 4/9

هل الصفر عدد نسبي

نعم يعتبر الصفر عددًا نسبيًا، فالأعداد النسبيّة هي الأعداد التي يمكن كتابتها على صورة أ/ب، بحيثُ أن أ، ب ينتميانِ إلى مجموعة الأعداد الصحيحة، وب لا تُساوي صفر، فالعدد صفر لا يجوز أنْ يكون في المقام، ولكنّه يمكنُ أن يكونَ في البسط أيّ كان مقامهُ.[4]

إلى هُنا نكونُ قد وصلنا إلى نهايةِ مقالنا ما هي الأعداد النسبية في الرياضيات، حيثُ سلطنّا الضوءَ على الأعداد النسبيّة وخصائصها وأمثلة عليّها وكيفية المقارنة بينها.